Լուծեք {r}{0.2x+0.3y=1.3}{0.4x+0.5y=2.3}

$$\left. \begin{array} { r } { 0.2 x + 0.3 y = 1.3 } \\ { 0.4 x + 0.5 y = 2.3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0.2x+0.3y=1.3,0.4x+0.5y=2.3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0.2x+0.3y=1.3$$

Հանեք \frac{3y}{10} հավասարման երկու կողմից:

$$0.2x=-0.3y+1.3$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 5-ով:

$$x=5\left(-0.3y+1.3\right)$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-3y+13}{10}:

$$x=-1.5y+6.5$$

Փոխարինեք \frac{-3y+13}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 0.4x+0.5y=2.3:

$$0.4\left(-1.5y+6.5\right)+0.5y=2.3$$

Բազմապատկեք 0.4 անգամ \frac{-3y+13}{2}:

$$-0.6y+2.6+0.5y=2.3$$

Գումարեք -\frac{3y}{5} \frac{y}{2}-ին:

$$-0.1y+2.6=2.3$$

Հանեք 2.6 հավասարման երկու կողմից:

$$-0.1y=-0.3$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -10-ով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-1.5y+6.5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-1.5\times 3+6.5$$

Բազմապատկեք -1.5 անգամ 3:

$$x=\frac{-9+13}{2}$$

Գումարեք 6.5 -4.5-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0.2x+0.3y=1.3,0.4x+0.5y=2.3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.3\\2.3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.3\\2.3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.3\\2.3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.3\\0.4&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.3\\2.3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.5}{0.2\times 0.5-0.3\times 0.4}&-\frac{0.3}{0.2\times 0.5-0.3\times 0.4}\\-\frac{0.4}{0.2\times 0.5-0.3\times 0.4}&\frac{0.2}{0.2\times 0.5-0.3\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.3\\2.3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25&15\\20&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.3\\2.3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\times 1.3+15\times 2.3\\20\times 1.3-10\times 2.3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0.2x+0.3y=1.3,0.4x+0.5y=2.3$$

\frac{x}{5}-ը և \frac{2x}{5}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 0.4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 0.2-ով:

$$0.4\times 0.2x+0.4\times 0.3y=0.4\times 1.3,0.2\times 0.4x+0.2\times 0.5y=0.2\times 2.3$$

Պարզեցնել:

$$0.08x+0.12y=0.52,0.08x+0.1y=0.46$$

Հանեք 0.08x+0.1y=0.46 0.08x+0.12y=0.52-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0.08x-0.08x+0.12y-0.1y=0.52-0.46$$

Գումարեք \frac{2x}{25} -\frac{2x}{25}-ին: \frac{2x}{25}-ը և -\frac{2x}{25}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$0.12y-0.1y=0.52-0.46$$

Գումարեք \frac{3y}{25} -\frac{y}{10}-ին:

$$0.02y=0.52-0.46$$

Գումարեք 0.52 -0.46-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$0.02y=0.06$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 50-ով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 0.4x+0.5y=2.3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$0.4x+0.5\times 3=2.3$$

Բազմապատկեք 0.5 անգամ 3:

$$0.4x+1.5=2.3$$

Հանեք 1.5 հավասարման երկու կողմից:

$$0.4x=0.8$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.4-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=3$$