Լուծեք {l}{y=x+300}{0.09x+0.07y=365}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 300 } \\ { 0.09 x + 0.07 y = 365 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=2150$$

$$y=2450$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=300$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-x=300,0.07y+0.09x=365$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-x=300$$

Գումարեք x հավասարման երկու կողմին:

$$y=x+300$$

Փոխարինեք x+300-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 0.07y+0.09x=365:

$$0.07\left(x+300\right)+0.09x=365$$

Բազմապատկեք 0.07 անգամ x+300:

$$0.07x+21+0.09x=365$$

Գումարեք \frac{7x}{100} \frac{9x}{100}-ին:

$$0.16x+21=365$$

Հանեք 21 հավասարման երկու կողմից:

$$0.16x=344$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.16-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=2150$$

Փոխարինեք 2150-ը x-ով y=x+300-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=2150+300$$

Գումարեք 300 2150-ին:

$$y=2450$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=2450,x=2150$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=300$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-x=300,0.07y+0.09x=365$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.07&0.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.09}{0.09-\left(-0.07\right)}&-\frac{-1}{0.09-\left(-0.07\right)}\\-\frac{0.07}{0.09-\left(-0.07\right)}&\frac{1}{0.09-\left(-0.07\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.5625&6.25\\-0.4375&6.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\365\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.5625\times 300+6.25\times 365\\-0.4375\times 300+6.25\times 365\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2450\\2150\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=2450,x=2150$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=300$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-x=300,0.07y+0.09x=365$$

y-ը և \frac{7y}{100}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 0.07-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$0.07y+0.07\left(-1\right)x=0.07\times 300,0.07y+0.09x=365$$

Պարզեցնել:

$$0.07y-0.07x=21,0.07y+0.09x=365$$

Հանեք 0.07y+0.09x=365 0.07y-0.07x=21-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0.07y-0.07y-0.07x-0.09x=21-365$$

Գումարեք \frac{7y}{100} -\frac{7y}{100}-ին: \frac{7y}{100}-ը և -\frac{7y}{100}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-0.07x-0.09x=21-365$$

Գումարեք -\frac{7x}{100} -\frac{9x}{100}-ին:

$$-0.16x=21-365$$

Գումարեք 21 -365-ին:

$$-0.16x=-344$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -0.16-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=2150$$

Փոխարինեք 2150-ը x-ով 0.07y+0.09x=365-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$0.07y+0.09\times 2150=365$$

Բազմապատկեք 0.09 անգամ 2150:

$$0.07y+193.5=365$$

Հանեք 193.5 հավասարման երկու կողմից:

$$0.07y=171.5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.07-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2450$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=2450,x=2150$$