Լուծեք {l}{y=4x-5}{y=2x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 5 } \\ { y = 2 x + 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=4$$

$$y=11$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-4x=-5$$

Գումարեք 4x հավասարման երկու կողմին:

$$y=4x-5$$

Փոխարինեք 4x-5-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-2x=3:

$$4x-5-2x=3$$

Գումարեք 4x -2x-ին:

$$2x-5=3$$

Գումարեք 5 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y=4x-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=4\times 4-5$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 4:

$$y=16-5$$

Գումարեք -5 16-ին:

$$y=11$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=11,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-4\right)}&\frac{1}{-2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-5\right)+2\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=11,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

Հանեք y-2x=3 y-4x=-5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-4x+2x=-5-3$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4x+2x=-5-3$$

Գումարեք -4x 2x-ին:

$$-2x=-5-3$$

Գումարեք -5 -3-ին:

$$-2x=-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y-2x=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-2\times 4=3$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 4:

$$y-8=3$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$y=11$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=11,x=4$$