Լուծեք {l}{y=3x+2}{y=-x-6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 2 } \\ { y = - x - 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=-6$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-3x=2,y+x=-6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-3x=2$$

Գումարեք 3x հավասարման երկու կողմին:

$$y=3x+2$$

Փոխարինեք 3x+2-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+x=-6:

$$3x+2+x=-6$$

Գումարեք 3x x-ին:

$$4x+2=-6$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-2$$

Փոխարինեք -2-ը x-ով y=3x+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=3\left(-2\right)+2$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -2:

$$y=-6+2$$

Գումարեք 2 -6-ին:

$$y=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-4,x=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=-6$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-3x=2,y+x=-6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2+\frac{3}{4}\left(-6\right)\\-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-4,x=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=-6$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-3x=2,y+x=-6$$

Հանեք y+x=-6 y-3x=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-3x-x=2+6$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3x-x=2+6$$

Գումարեք -3x -x-ին:

$$-4x=2+6$$

Գումարեք 2 6-ին:

$$-4x=8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=-2$$

Փոխարինեք -2-ը x-ով y+x=-6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-2=-6$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$y=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-4,x=-2$$