Լուծեք {l}{y=2x-2}{y=-5x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 2 } \\ { y = - 5 x + 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

$$y = -\frac{8}{7} = -1\frac{1}{7} \approx -1.142857143$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 5x-ը երկու կողմերում:

$$y+5x=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-2x=-2$$

Գումարեք 2x հավասարման երկու կողմին:

$$y=2x-2$$

Փոխարինեք -2+2x-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+5x=1:

$$2x-2+5x=1$$

Գումարեք 2x 5x-ին:

$$7x-2=1$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$7x=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{3}{7}$$

Փոխարինեք \frac{3}{7}-ը x-ով y=2x-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=2\times \frac{3}{7}-2$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{3}{7}:

$$y=\frac{6}{7}-2$$

Գումարեք -2 \frac{6}{7}-ին:

$$y=-\frac{8}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 5x-ը երկու կողմերում:

$$y+5x=1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\left(-2\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{7}\\\frac{3}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 5x-ը երկու կողմերում:

$$y+5x=1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

Հանեք y+5x=1 y-2x=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-2x-5x=-2-1$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2x-5x=-2-1$$

Գումարեք -2x -5x-ին:

$$-7x=-2-1$$

Գումարեք -2 -1-ին:

$$-7x=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=\frac{3}{7}$$

Փոխարինեք \frac{3}{7}-ը x-ով y+5x=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+5\times \frac{3}{7}=1$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{3}{7}:

$$y+\frac{15}{7}=1$$

Հանեք \frac{15}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$y=-\frac{8}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$