Լուծեք {l}{y=-2x-4}{y=x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x - 4 } \\ { y = x - 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} \approx -3.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=-3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+2x=-4,y-x=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+2x=-4$$

Հանեք 2x հավասարման երկու կողմից:

$$y=-2x-4$$

Փոխարինեք -2x-4-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-x=-3:

$$-2x-4-x=-3$$

Գումարեք -2x -x-ին:

$$-3x-4=-3$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$-3x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{3}-ը x-ով y=-2x-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-2\left(-\frac{1}{3}\right)-4$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{1}{3}:

$$y=\frac{2}{3}-4$$

Գումարեք -4 \frac{2}{3}-ին:

$$y=-\frac{10}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{10}{3},x=-\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=-3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+2x=-4,y-x=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{10}{3},x=-\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=-3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+2x=-4,y-x=-3$$

Հանեք y-x=-3 y+2x=-4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y+2x+x=-4+3$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2x+x=-4+3$$

Գումարեք 2x x-ին:

$$3x=-4+3$$

Գումարեք -4 3-ին:

$$3x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{3}-ը x-ով y-x=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-\left(-\frac{1}{3}\right)=-3$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -\frac{1}{3}:

$$y+\frac{1}{3}=-3$$

Հանեք \frac{1}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$y=-\frac{10}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{10}{3},x=-\frac{1}{3}$$