Լուծեք {l}{y=-2x}{y=-4x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x } \\ { y = - 4 x - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$y+4x=-1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+2x=0,y+4x=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+2x=0$$

Հանեք 2x հավասարման երկու կողմից:

$$y=-2x$$

Փոխարինեք -2x-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+4x=-1:

$$-2x+4x=-1$$

Գումարեք -2x 4x-ին:

$$2x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{2}-ը x-ով y=-2x-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-2\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{1}{2}:

$$y=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=1,x=-\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$y+4x=-1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+2x=0,y+4x=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\1&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)\\\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=1,x=-\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$y+4x=-1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+2x=0,y+4x=-1$$

Հանեք y+4x=-1 y+2x=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y+2x-4x=1$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2x-4x=1$$

Գումարեք 2x -4x-ին:

$$-2x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{2}-ը x-ով y+4x=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+4\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{1}{2}:

$$y-2=-1$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$y=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=1,x=-\frac{1}{2}$$