Լուծեք {l}{y=x+1/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 1 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք x+1-ի յուրաքանչյուր պարամետրը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}:

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

Գումարեք \frac{1}{2} և 3 և ստացեք \frac{7}{2}:

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք \frac{7+x}{2}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-2x=10:

$$\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}-2x=10$$

Գումարեք \frac{x}{2} -2x-ին:

$$-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}=10$$

Հանեք \frac{7}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{3}{2}x=\frac{13}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{13}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{13}{3}-ը x-ով y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{13}{3}\right)+\frac{7}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -\frac{13}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=-\frac{13}{6}+\frac{7}{2}$$

Գումարեք \frac{7}{2} -\frac{13}{6}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=\frac{4}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք x+1-ի յուրաքանչյուր պարամետրը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}:

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

Գումարեք \frac{1}{2} և 3 և ստացեք \frac{7}{2}:

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=10$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք x+1-ի յուրաքանչյուր պարամետրը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}:

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

Գումարեք \frac{1}{2} և 3 և ստացեք \frac{7}{2}:

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=10$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

Հանեք y-2x=10 y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

Գումարեք -\frac{x}{2} 2x-ին:

$$\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}-10$$

Գումարեք \frac{7}{2} -10-ին:

$$\frac{3}{2}x=-\frac{13}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{13}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{13}{3}-ը x-ով y-2x=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-2\left(-\frac{13}{3}\right)=10$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{13}{3}:

$$y+\frac{26}{3}=10$$

Հանեք \frac{26}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$y=\frac{4}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$