Լուծեք {l}{x^2+y^2=2}{x-y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404\text{, }y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1.366025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx 1.366025404\text{, }y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0.366025404$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-y=1,y^{2}+x^{2}=2$$

Լուծեք x-y=1-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-y=1$$

Հանեք -y հավասարման երկու կողմից:

$$x=y+1$$

Փոխարինեք y+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y^{2}+x^{2}=2:

$$y^{2}+\left(y+1\right)^{2}=2$$

y+1-ի քառակուսի:

$$y^{2}+y^{2}+2y+1=2$$

Գումարեք y^{2} y^{2}-ին:

$$2y^{2}+2y+1=2$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1+1\times 1^{2}-ը a-ով, 1\times 1\times 1\times 2-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

1\times 1\times 1\times 2-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 1+1\times 1^{2}:

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -1:

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Գումարեք 4 8-ին:

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Հանեք 12-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 1+1\times 1^{2}:

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Այժմ լուծել y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -2 2\sqrt{3}-ին:

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

Բաժանեք -2+2\sqrt{3}-ը 4-ի վրա:

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Այժմ լուծել y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{3} -2-ից:

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

Բաժանեք -2-2\sqrt{3}-ը 4-ի վրա:

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ \frac{-1+\sqrt{3}}{2} և \frac{-1-\sqrt{3}}{2}: Փոխարինեք \frac{-1+\sqrt{3}}{2}-ը y-ով x=y+1 հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+1$$

Այժմ փոխարինեք \frac{-1-\sqrt{3}}{2}-ը y-ով x=y+1 հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}+1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}+1,y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$