Լուծեք {l}{x+y=80}{35x+85y=80(x+y)}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 80 } \\ { 35 x + 85 y = 80 ( x + y ) } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=8$$

$$y=72$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 80 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$35x+85y=80x+80y$$

Հանեք 80x երկու կողմերից:

$$35x+85y-80x=80y$$

Համակցեք 35x և -80x և ստացեք -45x:

$$-45x+85y=80y$$

Հանեք 80y երկու կողմերից:

$$-45x+85y-80y=0$$

Համակցեք 85y և -80y և ստացեք 5y:

$$-45x+5y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=80,-45x+5y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=80$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+80$$

Փոխարինեք -y+80-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -45x+5y=0:

$$-45\left(-y+80\right)+5y=0$$

Բազմապատկեք -45 անգամ -y+80:

$$45y-3600+5y=0$$

Գումարեք 45y 5y-ին:

$$50y-3600=0$$

Գումարեք 3600 հավասարման երկու կողմին:

$$50y=3600$$

Բաժանեք երկու կողմերը 50-ի:

$$y=72$$

Փոխարինեք 72-ը y-ով x=-y+80-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-72+80$$

Գումարեք 80 -72-ին:

$$x=8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=8,y=72$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 80 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$35x+85y=80x+80y$$

Հանեք 80x երկու կողմերից:

$$35x+85y-80x=80y$$

Համակցեք 35x և -80x և ստացեք -45x:

$$-45x+85y=80y$$

Հանեք 80y երկու կողմերից:

$$-45x+85y-80y=0$$

Համակցեք 85y և -80y և ստացեք 5y:

$$-45x+5y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=80,-45x+5y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-45&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\-45&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-45&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-45&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-45&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-45&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-45&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-45\right)}&-\frac{1}{5-\left(-45\right)}\\-\frac{-45}{5-\left(-45\right)}&\frac{1}{5-\left(-45\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{1}{50}\\\frac{9}{10}&\frac{1}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 80\\\frac{9}{10}\times 80\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\72\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=8,y=72$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 80 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$35x+85y=80x+80y$$

Հանեք 80x երկու կողմերից:

$$35x+85y-80x=80y$$

Համակցեք 35x և -80x և ստացեք -45x:

$$-45x+85y=80y$$

Հանեք 80y երկու կողմերից:

$$-45x+85y-80y=0$$

Համակցեք 85y և -80y և ստացեք 5y:

$$-45x+5y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=80,-45x+5y=0$$

x-ը և -45x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -45-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-45x-45y=-45\times 80,-45x+5y=0$$

Պարզեցնել:

$$-45x-45y=-3600,-45x+5y=0$$

Հանեք -45x+5y=0 -45x-45y=-3600-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-45x+45x-45y-5y=-3600$$

Գումարեք -45x 45x-ին: -45x-ը և 45x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-45y-5y=-3600$$

Գումարեք -45y -5y-ին:

$$-50y=-3600$$

Բաժանեք երկու կողմերը -50-ի:

$$y=72$$

Փոխարինեք 72-ը y-ով -45x+5y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-45x+5\times 72=0$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 72:

$$-45x+360=0$$

Հանեք 360 հավասարման երկու կողմից:

$$-45x=-360$$

Բաժանեք երկու կողմերը -45-ի:

$$x=8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=8,y=72$$