Լուծեք {l}{x+y=38000}{0.06x+0.15y=4170}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 38000 } \\ { 0.06 x + 0.15 y = 4170 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=17000$$

$$y=21000$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=38000$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+38000$$

Փոխարինեք -y+38000-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 0.06x+0.15y=4170:

$$0.06\left(-y+38000\right)+0.15y=4170$$

Բազմապատկեք 0.06 անգամ -y+38000:

$$-0.06y+2280+0.15y=4170$$

Գումարեք -\frac{3y}{50} \frac{3y}{20}-ին:

$$0.09y+2280=4170$$

Հանեք 2280 հավասարման երկու կողմից:

$$0.09y=1890$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.09-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=21000$$

Փոխարինեք 21000-ը y-ով x=-y+38000-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-21000+38000$$

Գումարեք 38000 -21000-ին:

$$x=17000$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=17000,y=21000$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.15}{0.15-0.06}&-\frac{1}{0.15-0.06}\\-\frac{0.06}{0.15-0.06}&\frac{1}{0.15-0.06}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&-\frac{100}{9}\\-\frac{2}{3}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 38000-\frac{100}{9}\times 4170\\-\frac{2}{3}\times 38000+\frac{100}{9}\times 4170\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17000\\21000\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=17000,y=21000$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

x-ը և \frac{3x}{50}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 0.06-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$0.06x+0.06y=0.06\times 38000,0.06x+0.15y=4170$$

Պարզեցնել:

$$0.06x+0.06y=2280,0.06x+0.15y=4170$$

Հանեք 0.06x+0.15y=4170 0.06x+0.06y=2280-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0.06x-0.06x+0.06y-0.15y=2280-4170$$

Գումարեք \frac{3x}{50} -\frac{3x}{50}-ին: \frac{3x}{50}-ը և -\frac{3x}{50}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$0.06y-0.15y=2280-4170$$

Գումարեք \frac{3y}{50} -\frac{3y}{20}-ին:

$$-0.09y=2280-4170$$

Գումարեք 2280 -4170-ին:

$$-0.09y=-1890$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -0.09-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=21000$$

Փոխարինեք 21000-ը y-ով 0.06x+0.15y=4170-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$0.06x+0.15\times 21000=4170$$

Բազմապատկեք 0.15 անգամ 21000:

$$0.06x+3150=4170$$

Հանեք 3150 հավասարման երկու կողմից:

$$0.06x=1020$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.06-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=17000$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=17000,y=21000$$