Լուծեք {l}{x+y=2}{2x-3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 2 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=2,2x-3y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=2$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+2$$

Փոխարինեք -y+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-3y=1:

$$2\left(-y+2\right)-3y=1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -y+2:

$$-2y+4-3y=1$$

Գումարեք -2y -3y-ին:

$$-5y+4=1$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$-5y=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք \frac{3}{5}-ը y-ով x=-y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{5}+2$$

Գումարեք 2 -\frac{3}{5}-ին:

$$x=\frac{7}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=2,2x-3y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2+\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}\times 2-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=2,2x-3y=1$$

x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2x+2y=2\times 2,2x-3y=1$$

Պարզեցնել:

$$2x+2y=4,2x-3y=1$$

Հանեք 2x-3y=1 2x+2y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+2y+3y=4-1$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y+3y=4-1$$

Գումարեք 2y 3y-ին:

$$5y=4-1$$

Գումարեք 4 -1-ին:

$$5y=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք \frac{3}{5}-ը y-ով 2x-3y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-3\times \frac{3}{5}=1$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{3}{5}:

$$2x-\frac{9}{5}=1$$

Գումարեք \frac{9}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$2x=\frac{14}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{7}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$