Լուծեք {l}{m+3=8n}{m+4n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 3 = 8 n } \\ { m + 4 n = 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m=3$$

$$n=\frac{3}{4}=0.75$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 8n երկու կողմերից:

$$m+3-8n=0$$

Հանեք 3 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$m-8n=-3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$m-8n=-3$$

Գումարեք 8n հավասարման երկու կողմին:

$$m=8n-3$$

Փոխարինեք 8n-3-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ m+4n=6:

$$8n-3+4n=6$$

Գումարեք 8n 4n-ին:

$$12n-3=6$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$12n=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$n=\frac{3}{4}$$

Փոխարինեք \frac{3}{4}-ը n-ով m=8n-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=8\times \frac{3}{4}-3$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{3}{4}:

$$m=6-3$$

Գումարեք -3 6-ին:

$$m=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 8n երկու կողմերից:

$$m+3-8n=0$$

Հանեք 3 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$m-8n=-3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{4-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-8\right)}&\frac{1}{4-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\times 6\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{12}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 8n երկու կողմերից:

$$m+3-8n=0$$

Հանեք 3 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$m-8n=-3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Հանեք m+4n=6 m-8n=-3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$m-m-8n-4n=-3-6$$

Գումարեք m -m-ին: m-ը և -m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8n-4n=-3-6$$

Գումարեք -8n -4n-ին:

$$-12n=-3-6$$

Գումարեք -3 -6-ին:

$$-12n=-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-ի:

$$n=\frac{3}{4}$$

Փոխարինեք \frac{3}{4}-ը n-ով m+4n=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m+4\times \frac{3}{4}=6$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{3}{4}:

$$m+3=6$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$m=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$