Լուծեք {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2b-ը երկու կողմերում:

$$a+2b=15$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 2a-ը երկու կողմերում:

$$2a-5b+2a=15$$

Համակցեք 2a և 2a և ստացեք 4a:

$$4a-5b=15$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$a+2b=15$$

Հանեք 2b հավասարման երկու կողմից:

$$a=-2b+15$$

Փոխարինեք -2b+15-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4a-5b=15:

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -2b+15:

$$-8b+60-5b=15$$

Գումարեք -8b -5b-ին:

$$-13b+60=15$$

Հանեք 60 հավասարման երկու կողմից:

$$-13b=-45$$

Բաժանեք երկու կողմերը -13-ի:

$$b=\frac{45}{13}$$

Փոխարինեք \frac{45}{13}-ը b-ով a=-2b+15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{45}{13}:

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

Գումարեք 15 -\frac{90}{13}-ին:

$$a=\frac{105}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2b-ը երկու կողմերում:

$$a+2b=15$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 2a-ը երկու կողմերում:

$$2a-5b+2a=15$$

Համակցեք 2a և 2a և ստացեք 4a:

$$4a-5b=15$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2b-ը երկու կողմերում:

$$a+2b=15$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 2a-ը երկու կողմերում:

$$2a-5b+2a=15$$

Համակցեք 2a և 2a և ստացեք 4a:

$$4a-5b=15$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

a-ը և 4a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

Պարզեցնել:

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

Հանեք 4a-5b=15 4a+8b=60-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

Գումարեք 4a -4a-ին: 4a-ը և -4a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8b+5b=60-15$$

Գումարեք 8b 5b-ին:

$$13b=60-15$$

Գումարեք 60 -15-ին:

$$13b=45$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$b=\frac{45}{13}$$

Փոխարինեք \frac{45}{13}-ը b-ով 4a-5b=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{45}{13}:

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

Գումարեք \frac{225}{13} հավասարման երկու կողմին:

$$4a=\frac{420}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$a=\frac{105}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$