Լուծեք {l}{950x-120y=13}{490y-120x=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 950 x - 120 y = 13 } \\ { 490 y - 120 x = - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{125}{9022}\approx 0.013855021$$

$$y=\frac{61}{45110}\approx 0.00135225$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$950x-120y=13$$

Գումարեք 120y հավասարման երկու կողմին:

$$950x=120y+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 950-ի:

$$x=\frac{1}{950}\left(120y+13\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{950} անգամ 120y+13:

$$x=\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}$$

Փոխարինեք \frac{12y}{95}+\frac{13}{950}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -120x+490y=-1:

$$-120\left(\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}\right)+490y=-1$$

Բազմապատկեք -120 անգամ \frac{12y}{95}+\frac{13}{950}:

$$-\frac{288}{19}y-\frac{156}{95}+490y=-1$$

Գումարեք -\frac{288y}{19} 490y-ին:

$$\frac{9022}{19}y-\frac{156}{95}=-1$$

Գումարեք \frac{156}{95} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{9022}{19}y=\frac{61}{95}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{9022}{19}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{61}{45110}$$

Փոխարինեք \frac{61}{45110}-ը y-ով x=\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{12}{95}\times \frac{61}{45110}+\frac{13}{950}$$

Բազմապատկեք \frac{12}{95} անգամ \frac{61}{45110}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{366}{2142725}+\frac{13}{950}$$

Գումարեք \frac{13}{950} \frac{366}{2142725}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{125}{9022}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{490}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}&-\frac{-120}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}\\-\frac{-120}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}&\frac{950}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{45110}&\frac{6}{22555}\\\frac{6}{22555}&\frac{19}{9022}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{45110}\times 13+\frac{6}{22555}\left(-1\right)\\\frac{6}{22555}\times 13+\frac{19}{9022}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{125}{9022}\\\frac{61}{45110}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

950x-ը և -120x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -120-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 950-ով:

$$-120\times 950x-120\left(-120\right)y=-120\times 13,950\left(-120\right)x+950\times 490y=950\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$-114000x+14400y=-1560,-114000x+465500y=-950$$

Հանեք -114000x+465500y=-950 -114000x+14400y=-1560-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-114000x+114000x+14400y-465500y=-1560+950$$

Գումարեք -114000x 114000x-ին: -114000x-ը և 114000x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$14400y-465500y=-1560+950$$

Գումարեք 14400y -465500y-ին:

$$-451100y=-1560+950$$

Գումարեք -1560 950-ին:

$$-451100y=-610$$

Բաժանեք երկու կողմերը -451100-ի:

$$y=\frac{61}{45110}$$

Փոխարինեք \frac{61}{45110}-ը y-ով -120x+490y=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-120x+490\times \frac{61}{45110}=-1$$

Բազմապատկեք 490 անգամ \frac{61}{45110}:

$$-120x+\frac{2989}{4511}=-1$$

Հանեք \frac{2989}{4511} հավասարման երկու կողմից:

$$-120x=-\frac{7500}{4511}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -120-ի:

$$x=\frac{125}{9022}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$