Լուծեք {l}{8x+y=67}{4x+7y=51}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 67 } \\ { 4 x + 7 y = 51 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{209}{26} = 8\frac{1}{26} \approx 8.038461538$$

$$y = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$8x+y=67$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$8x=-y+67$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+67\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{8} անգամ -y+67:

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}$$

Փոխարինեք \frac{-y+67}{8}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+7y=51:

$$4\left(-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}\right)+7y=51$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-y+67}{8}:

$$-\frac{1}{2}y+\frac{67}{2}+7y=51$$

Գումարեք -\frac{y}{2} 7y-ին:

$$\frac{13}{2}y+\frac{67}{2}=51$$

Հանեք \frac{67}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{13}{2}y=\frac{35}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{13}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{35}{13}$$

Փոխարինեք \frac{35}{13}-ը y-ով x=-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{35}{13}+\frac{67}{8}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{8} անգամ \frac{35}{13}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{35}{104}+\frac{67}{8}$$

Գումարեք \frac{67}{8} -\frac{35}{104}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{209}{26}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8\times 7-4}&-\frac{1}{8\times 7-4}\\-\frac{4}{8\times 7-4}&\frac{8}{8\times 7-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{52}&-\frac{1}{52}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{52}\times 67-\frac{1}{52}\times 51\\-\frac{1}{13}\times 67+\frac{2}{13}\times 51\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{209}{26}\\\frac{35}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

8x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 8-ով:

$$4\times 8x+4y=4\times 67,8\times 4x+8\times 7y=8\times 51$$

Պարզեցնել:

$$32x+4y=268,32x+56y=408$$

Հանեք 32x+56y=408 32x+4y=268-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$32x-32x+4y-56y=268-408$$

Գումարեք 32x -32x-ին: 32x-ը և -32x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y-56y=268-408$$

Գումարեք 4y -56y-ին:

$$-52y=268-408$$

Գումարեք 268 -408-ին:

$$-52y=-140$$

Բաժանեք երկու կողմերը -52-ի:

$$y=\frac{35}{13}$$

Փոխարինեք \frac{35}{13}-ը y-ով 4x+7y=51-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+7\times \frac{35}{13}=51$$

Բազմապատկեք 7 անգամ \frac{35}{13}:

$$4x+\frac{245}{13}=51$$

Հանեք \frac{245}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$4x=\frac{418}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{209}{26}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$