Լուծեք {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$5y+4x=-13$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5y+4x=-13$$

Հանեք 4x հավասարման երկու կողմից:

$$5y=-4x-13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -4x-13:

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-4x-13}{5}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6y+3x=13:

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{-4x-13}{5}:

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

Գումարեք -\frac{24x}{5} 3x-ին:

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

Գումարեք \frac{78}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{9}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{143}{9}$$

Փոխարինեք -\frac{143}{9}-ը x-ով y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{5} անգամ -\frac{143}{9}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

Գումարեք -\frac{13}{5} \frac{572}{45}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=\frac{91}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$5y+4x=-13$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$5y+4x=-13$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

5y-ը և 6y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

Պարզեցնել:

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

Հանեք 30y+15x=65 30y+24x=-78-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

Գումարեք 30y -30y-ին: 30y-ը և -30y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$24x-15x=-78-65$$

Գումարեք 24x -15x-ին:

$$9x=-78-65$$

Գումարեք -78 -65-ին:

$$9x=-143$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=-\frac{143}{9}$$

Փոխարինեք -\frac{143}{9}-ը x-ով 6y+3x=13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{143}{9}:

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

Գումարեք \frac{143}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$6y=\frac{182}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=\frac{91}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$