Լուծեք {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=51$$

$$y=65$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+3y=450$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-3y+450$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -3y+450:

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{5}+90-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+4y=413:

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{3y}{5}+90:

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

Գումարեք -\frac{9y}{5} 4y-ին:

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

Հանեք 270 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{11}{5}y=143$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=65$$

Փոխարինեք 65-ը y-ով x=-\frac{3}{5}y+90-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{5} անգամ 65:

$$x=-39+90$$

Գումարեք 90 -39-ին:

$$x=51$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=51,y=65$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=51,y=65$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

5x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

Պարզեցնել:

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

Հանեք 15x+20y=2065 15x+9y=1350-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-20y=1350-2065$$

Գումարեք 9y -20y-ին:

$$-11y=1350-2065$$

Գումարեք 1350 -2065-ին:

$$-11y=-715$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$y=65$$

Փոխարինեք 65-ը y-ով 3x+4y=413-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+4\times 65=413$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 65:

$$3x+260=413$$

Հանեք 260 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=153$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=51$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=51,y=65$$