Լուծեք {l}{5x+3y=2}{-3x+12y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 2 } \\ { - 3 x + 12 y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{8}{23}\approx 0.347826087$$

$$y=\frac{2}{23}\approx 0.086956522$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+3y=2$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-3y+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -3y+2:

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+2}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3x+12y=0:

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+12y=0$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{-3y+2}{5}:

$$\frac{9}{5}y-\frac{6}{5}+12y=0$$

Գումարեք \frac{9y}{5} 12y-ին:

$$\frac{69}{5}y-\frac{6}{5}=0$$

Գումարեք \frac{6}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{69}{5}y=\frac{6}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{69}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{2}{23}$$

Փոխարինեք \frac{2}{23}-ը y-ով x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{2}{23}+\frac{2}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{5} անգամ \frac{2}{23}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{6}{115}+\frac{2}{5}$$

Գումարեք \frac{2}{5} -\frac{6}{115}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{8}{23}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5\times 12-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 12-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 12-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 12-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{1}{23}&\frac{5}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}\times 2\\\frac{1}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{23}\\\frac{2}{23}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

5x-ը և -3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\times 2,5\left(-3\right)x+5\times 12y=0$$

Պարզեցնել:

$$-15x-9y=-6,-15x+60y=0$$

Հանեք -15x+60y=0 -15x-9y=-6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-15x+15x-9y-60y=-6$$

Գումարեք -15x 15x-ին: -15x-ը և 15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-9y-60y=-6$$

Գումարեք -9y -60y-ին:

$$-69y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -69-ի:

$$y=\frac{2}{23}$$

Փոխարինեք \frac{2}{23}-ը y-ով -3x+12y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-3x+12\times \frac{2}{23}=0$$

Բազմապատկեք 12 անգամ \frac{2}{23}:

$$-3x+\frac{24}{23}=0$$

Հանեք \frac{24}{23} հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=-\frac{24}{23}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=\frac{8}{23}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$