Լուծեք {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+2y=3$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-2y+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -2y+3:

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+3}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 12x+7y=2:

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

Բազմապատկեք 12 անգամ \frac{-2y+3}{5}:

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

Գումարեք -\frac{24y}{5} 7y-ին:

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

Հանեք \frac{36}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{26}{11}$$

Փոխարինեք -\frac{26}{11}-ը y-ով x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{5} անգամ -\frac{26}{11}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

Գումարեք \frac{3}{5} \frac{52}{55}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{17}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

5x-ը և 12x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 12-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

Պարզեցնել:

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

Հանեք 60x+35y=10 60x+24y=36-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

Գումարեք 60x -60x-ին: 60x-ը և -60x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$24y-35y=36-10$$

Գումարեք 24y -35y-ին:

$$-11y=36-10$$

Գումարեք 36 -10-ին:

$$-11y=26$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$y=-\frac{26}{11}$$

Փոխարինեք -\frac{26}{11}-ը y-ով 12x+7y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -\frac{26}{11}:

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

Գումարեք \frac{182}{11} հավասարման երկու կողմին:

$$12x=\frac{204}{11}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$x=\frac{17}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$