Լուծեք {l}{4x-4y=4}{-4x-y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 4 y = 4 } \\ { - 4 x - y = - 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x-4y=4$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$4x=4y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(4y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ 4+4y:

$$x=y+1$$

Փոխարինեք y+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4x-y=-11:

$$-4\left(y+1\right)-y=-11$$

Բազմապատկեք -4 անգամ y+1:

$$-4y-4-y=-11$$

Գումարեք -4y -y-ին:

$$-5y-4=-11$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$-5y=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=\frac{7}{5}$$

Փոխարինեք \frac{7}{5}-ը y-ով x=y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{7}{5}+1$$

Գումարեք 1 \frac{7}{5}-ին:

$$x=\frac{12}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}&-\frac{-4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 4-\frac{1}{5}\left(-11\right)\\-\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{5}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

4x-ը և -4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$-4\times 4x-4\left(-4\right)y=-4\times 4,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-11\right)$$

Պարզեցնել:

$$-16x+16y=-16,-16x-4y=-44$$

Հանեք -16x-4y=-44 -16x+16y=-16-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-16x+16x+16y+4y=-16+44$$

Գումարեք -16x 16x-ին: -16x-ը և 16x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$16y+4y=-16+44$$

Գումարեք 16y 4y-ին:

$$20y=-16+44$$

Գումարեք -16 44-ին:

$$20y=28$$

Բաժանեք երկու կողմերը 20-ի:

$$y=\frac{7}{5}$$

Փոխարինեք \frac{7}{5}-ը y-ով -4x-y=-11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-4x-\frac{7}{5}=-11$$

Գումարեք \frac{7}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$-4x=-\frac{48}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=\frac{12}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$