Լուծեք {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$4x+3y=9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 5x-ը երկու կողմերում:

$$5y+5x=12$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+3y=9$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-3y+9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -3y+9:

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+9}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+5y=12:

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-3y+9}{4}:

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

Գումարեք -\frac{15y}{4} 5y-ին:

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

Հանեք \frac{45}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք \frac{3}{5}-ը y-ով x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ \frac{3}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

Գումարեք \frac{9}{4} -\frac{9}{20}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{9}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$4x+3y=9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 5x-ը երկու կողմերում:

$$5y+5x=12$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$4x+3y=9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 5x-ը երկու կողմերում:

$$5y+5x=12$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

4x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

Պարզեցնել:

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

Հանեք 20x+20y=48 20x+15y=45-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

Գումարեք 20x -20x-ին: 20x-ը և -20x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-20y=45-48$$

Գումարեք 15y -20y-ին:

$$-5y=45-48$$

Գումարեք 45 -48-ին:

$$-5y=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք \frac{3}{5}-ը y-ով 5x+5y=12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{3}{5}:

$$5x+3=12$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{9}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$