Լուծեք {l}{4x+6y=-3}{5x+7y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 6 y = - 3 } \\ { 5 x + 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+6y=-3,5x+7y=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+6y=-3$$

Հանեք 6y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-6y-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-6y-3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -6y-3:

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{3}{4}$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}-\frac{3}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+7y=-2:

$$5\left(-\frac{3}{2}y-\frac{3}{4}\right)+7y=-2$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{3y}{2}-\frac{3}{4}:

$$-\frac{15}{2}y-\frac{15}{4}+7y=-2$$

Գումարեք -\frac{15y}{2} 7y-ին:

$$-\frac{1}{2}y-\frac{15}{4}=-2$$

Գումարեք \frac{15}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{1}{2}y=\frac{7}{4}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$y=-\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{7}{2}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y-\frac{3}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)-\frac{3}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ -\frac{7}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{21-3}{4}$$

Գումարեք -\frac{3}{4} \frac{21}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{9}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{2},y=-\frac{7}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+6y=-3,5x+7y=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&6\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&6\\5&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-6\times 5}&-\frac{6}{4\times 7-6\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-6\times 5}&\frac{4}{4\times 7-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}&3\\\frac{5}{2}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}\left(-3\right)+3\left(-2\right)\\\frac{5}{2}\left(-3\right)-2\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{9}{2},y=-\frac{7}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+6y=-3,5x+7y=-2$$

4x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$5\times 4x+5\times 6y=5\left(-3\right),4\times 5x+4\times 7y=4\left(-2\right)$$

Պարզեցնել:

$$20x+30y=-15,20x+28y=-8$$

Հանեք 20x+28y=-8 20x+30y=-15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$20x-20x+30y-28y=-15+8$$

Գումարեք 20x -20x-ին: 20x-ը և -20x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$30y-28y=-15+8$$

Գումարեք 30y -28y-ին:

$$2y=-15+8$$

Գումարեք -15 8-ին:

$$2y=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{7}{2}-ը y-ով 5x+7y=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+7\left(-\frac{7}{2}\right)=-2$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -\frac{7}{2}:

$$5x-\frac{49}{2}=-2$$

Գումարեք \frac{49}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$5x=\frac{45}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{9}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{2},y=-\frac{7}{2}$$