Լուծեք {l}{3x-4y=1}{5x+2y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 1 } \\ { 5 x + 2 y = 19 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-4y=1,5x+2y=19$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-4y=1$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=4y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 4y+1:

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք \frac{4y+1}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+2y=19:

$$5\left(\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+2y=19$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{4y+1}{3}:

$$\frac{20}{3}y+\frac{5}{3}+2y=19$$

Գումարեք \frac{20y}{3} 2y-ին:

$$\frac{26}{3}y+\frac{5}{3}=19$$

Հանեք \frac{5}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{26}{3}y=\frac{52}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{26}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{4}{3}\times 2+\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{3} անգամ 2:

$$x=\frac{8+1}{3}$$

Գումարեք \frac{1}{3} \frac{8}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-4y=1,5x+2y=19$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-4\\5&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 2-\left(-4\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{5}{26}+\frac{3}{26}\times 19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-4y=1,5x+2y=19$$

3x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$5\times 3x+5\left(-4\right)y=5,3\times 5x+3\times 2y=3\times 19$$

Պարզեցնել:

$$15x-20y=5,15x+6y=57$$

Հանեք 15x+6y=57 15x-20y=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x-20y-6y=5-57$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-20y-6y=5-57$$

Գումարեք -20y -6y-ին:

$$-26y=5-57$$

Գումարեք 5 -57-ին:

$$-26y=-52$$

Բաժանեք երկու կողմերը -26-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 5x+2y=19-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+2\times 2=19$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$5x+4=19$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=2$$