Լուծեք {l}{3x-2y=2}{5x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 2 } \\ { 5 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y=2$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 2+2y:

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2+2y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-5y=10:

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\right)-5y=10$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{2+2y}{3}:

$$\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}-5y=10$$

Գումարեք \frac{10y}{3} -5y-ին:

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

Հանեք \frac{10}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ -4:

$$x=\frac{-8+2}{3}$$

Գումարեք \frac{2}{3} -\frac{8}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\frac{2}{5}\times 10\\2-\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

3x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-5\right)y=3\times 10$$

Պարզեցնել:

$$15x-10y=10,15x-15y=30$$

Հանեք 15x-15y=30 15x-10y=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x-10y+15y=10-30$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-10y+15y=10-30$$

Գումարեք -10y 15y-ին:

$$5y=10-30$$

Գումարեք 10 -30-ին:

$$5y=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով 5x-5y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-5\left(-4\right)=10$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -4:

$$5x+20=10$$

Հանեք 20 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=-4$$