Լուծեք {l}{3x+2y+4=0}{x(2x-1)-x^2+y=x^2+2y+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y + 4 = 0 } \\ { x ( 2 x - 1 ) - x ^ { 2 } + y = x ^ { 2 } + 2 y + 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x+2y=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 2x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x^{2}-x-x^{2}+y=x^{2}+2y+3$$

Համակցեք 2x^{2} և -x^{2} և ստացեք x^{2}:

$$x^{2}-x+y=x^{2}+2y+3$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$x^{2}-x+y-x^{2}=2y+3$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$-x+y=2y+3$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-x+y-2y=3$$

Համակցեք y և -2y և ստացեք -y:

$$-x-y=3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=-4,-x-y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=-4$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y-4:

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2y-4}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x-y=3:

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}\right)-y=3$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{-2y-4}{3}:

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

Գումարեք \frac{2y}{3} -y-ին:

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Հանեք \frac{4}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -3-ով:

$$y=-5$$

Փոխարինեք -5-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\left(-5\right)-\frac{4}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ -5:

$$x=\frac{10-4}{3}$$

Գումարեք -\frac{4}{3} \frac{10}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x+2y=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 2x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x^{2}-x-x^{2}+y=x^{2}+2y+3$$

Համակցեք 2x^{2} և -x^{2} և ստացեք x^{2}:

$$x^{2}-x+y=x^{2}+2y+3$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$x^{2}-x+y-x^{2}=2y+3$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$-x+y=2y+3$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-x+y-2y=3$$

Համակցեք y և -2y և ստացեք -y:

$$-x-y=3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=-4,-x-y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+2\times 3\\-\left(-4\right)-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x+2y=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 2x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x^{2}-x-x^{2}+y=x^{2}+2y+3$$

Համակցեք 2x^{2} և -x^{2} և ստացեք x^{2}:

$$x^{2}-x+y=x^{2}+2y+3$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$x^{2}-x+y-x^{2}=2y+3$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$-x+y=2y+3$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-x+y-2y=3$$

Համակցեք y և -2y և ստացեք -y:

$$-x-y=3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=-4,-x-y=3$$

3x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-3x-2y=-\left(-4\right),3\left(-1\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

Պարզեցնել:

$$-3x-2y=4,-3x-3y=9$$

Հանեք -3x-3y=9 -3x-2y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3x+3x-2y+3y=4-9$$

Գումարեք -3x 3x-ին: -3x-ը և 3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y+3y=4-9$$

Գումարեք -2y 3y-ին:

$$y=4-9$$

Գումարեք 4 -9-ին:

$$y=-5$$

Փոխարինեք -5-ը y-ով -x-y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x-\left(-5\right)=3$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=-5$$