Լուծեք {l}{3t-2u=7}{9t-5u=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 t - 2 u = 7 } \\ { 9 t - 5 u = 18 } \end{array} \right.$$

Լուծել t, u-ի համար

$$t=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$u=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն t-ի համար՝ առանձնացնելով t-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3t-2u=7$$

Գումարեք 2u հավասարման երկու կողմին:

$$3t=2u+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$t=\frac{1}{3}\left(2u+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 2u+7:

$$t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2u+7}{3}-ը t-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9t-5u=18:

$$9\left(\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}\right)-5u=18$$

Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{2u+7}{3}:

$$6u+21-5u=18$$

Գումարեք 6u -5u-ին:

$$u+21=18$$

Հանեք 21 հավասարման երկու կողմից:

$$u=-3$$

Փոխարինեք -3-ը u-ով t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես t-ի համար:

$$t=\frac{2}{3}\left(-3\right)+\frac{7}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ -3:

$$t=-2+\frac{7}{3}$$

Գումարեք \frac{7}{3} -2-ին:

$$t=\frac{1}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 18\\-3\times 7+18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի t և u տարրերը:

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

3t-ը և 9t-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$9\times 3t+9\left(-2\right)u=9\times 7,3\times 9t+3\left(-5\right)u=3\times 18$$

Պարզեցնել:

$$27t-18u=63,27t-15u=54$$

Հանեք 27t-15u=54 27t-18u=63-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$27t-27t-18u+15u=63-54$$

Գումարեք 27t -27t-ին: 27t-ը և -27t-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-18u+15u=63-54$$

Գումարեք -18u 15u-ին:

$$-3u=63-54$$

Գումարեք 63 -54-ին:

$$-3u=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$u=-3$$

Փոխարինեք -3-ը u-ով 9t-5u=18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես t-ի համար:

$$9t-5\left(-3\right)=18$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -3:

$$9t+15=18$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$9t=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$t=\frac{1}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$