Լուծեք {l}{3c+4u=33}{6c+3u=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 4 u = 33 } \\ { 6 c + 3 u = 36 } \end{array} \right.$$

Լուծել c, u-ի համար

$$c=3$$

$$u=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3c+4u=33,6c+3u=36$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն c-ի համար՝ առանձնացնելով c-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3c+4u=33$$

Հանեք 4u հավասարման երկու կողմից:

$$3c=-4u+33$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$c=\frac{1}{3}\left(-4u+33\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -4u+33:

$$c=-\frac{4}{3}u+11$$

Փոխարինեք -\frac{4u}{3}+11-ը c-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6c+3u=36:

$$6\left(-\frac{4}{3}u+11\right)+3u=36$$

Բազմապատկեք 6 անգամ -\frac{4u}{3}+11:

$$-8u+66+3u=36$$

Գումարեք -8u 3u-ին:

$$-5u+66=36$$

Հանեք 66 հավասարման երկու կողմից:

$$-5u=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$u=6$$

Փոխարինեք 6-ը u-ով c=-\frac{4}{3}u+11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես c-ի համար:

$$c=-\frac{4}{3}\times 6+11$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ 6:

$$c=-8+11$$

Գումարեք 11 -8-ին:

$$c=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$c=3,u=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3c+4u=33,6c+3u=36$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}33\\36\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\36\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\36\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}c\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}c\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-4\times 6}&\frac{3}{3\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\36\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}c\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\36\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}c\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 33+\frac{4}{15}\times 36\\\frac{2}{5}\times 33-\frac{1}{5}\times 36\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}c\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի c և u տարրերը:

$$c=3,u=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3c+4u=33,6c+3u=36$$

3c-ը և 6c-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$6\times 3c+6\times 4u=6\times 33,3\times 6c+3\times 3u=3\times 36$$

Պարզեցնել:

$$18c+24u=198,18c+9u=108$$

Հանեք 18c+9u=108 18c+24u=198-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$18c-18c+24u-9u=198-108$$

Գումարեք 18c -18c-ին: 18c-ը և -18c-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$24u-9u=198-108$$

Գումարեք 24u -9u-ին:

$$15u=198-108$$

Գումարեք 198 -108-ին:

$$15u=90$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$u=6$$

Փոխարինեք 6-ը u-ով 6c+3u=36-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես c-ի համար:

$$6c+3\times 6=36$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 6:

$$6c+18=36$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$6c=18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$c=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$c=3,u=6$$