Լուծեք {l}{20x+9y=20}{-4x-2y=-42}

$$\left. \begin{array} { l } { 20 x + 9 y = 20 } \\ { - 4 x - 2 y = - 42 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{169}{2} = -84\frac{1}{2} = -84.5$$

$$y=190$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$20x+9y=20,-4x-2y=-42$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$20x+9y=20$$

Հանեք 9y հավասարման երկու կողմից:

$$20x=-9y+20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 20-ի:

$$x=\frac{1}{20}\left(-9y+20\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{20} անգամ -9y+20:

$$x=-\frac{9}{20}y+1$$

Փոխարինեք -\frac{9y}{20}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4x-2y=-42:

$$-4\left(-\frac{9}{20}y+1\right)-2y=-42$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -\frac{9y}{20}+1:

$$\frac{9}{5}y-4-2y=-42$$

Գումարեք \frac{9y}{5} -2y-ին:

$$-\frac{1}{5}y-4=-42$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{1}{5}y=-38$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -5-ով:

$$y=190$$

Փոխարինեք 190-ը y-ով x=-\frac{9}{20}y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{9}{20}\times 190+1$$

Բազմապատկեք -\frac{9}{20} անգամ 190:

$$x=-\frac{171}{2}+1$$

Գումարեք 1 -\frac{171}{2}-ին:

$$x=-\frac{169}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{169}{2},y=190$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$20x+9y=20,-4x-2y=-42$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{20\left(-2\right)-9\left(-4\right)}&-\frac{9}{20\left(-2\right)-9\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{20\left(-2\right)-9\left(-4\right)}&\frac{20}{20\left(-2\right)-9\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{9}{4}\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 20+\frac{9}{4}\left(-42\right)\\-20-5\left(-42\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{2}\\190\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{169}{2},y=190$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$20x+9y=20,-4x-2y=-42$$

20x-ը և -4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 20-ով:

$$-4\times 20x-4\times 9y=-4\times 20,20\left(-4\right)x+20\left(-2\right)y=20\left(-42\right)$$

Պարզեցնել:

$$-80x-36y=-80,-80x-40y=-840$$

Հանեք -80x-40y=-840 -80x-36y=-80-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-80x+80x-36y+40y=-80+840$$

Գումարեք -80x 80x-ին: -80x-ը և 80x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-36y+40y=-80+840$$

Գումարեք -36y 40y-ին:

$$4y=-80+840$$

Գումարեք -80 840-ին:

$$4y=760$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=190$$

Փոխարինեք 190-ը y-ով -4x-2y=-42-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-4x-2\times 190=-42$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 190:

$$-4x-380=-42$$

Գումարեք 380 հավասարման երկու կողմին:

$$-4x=338$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=-\frac{169}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{169}{2},y=190$$