Լուծեք {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y-7=0$$

Գումարեք 7 հավասարման երկու կողմին:

$$2x+y=7$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+7:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+7}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 17x-11y-8=0:

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

Բազմապատկեք 17 անգամ \frac{-y+7}{2}:

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

Գումարեք -\frac{17y}{2} -11y-ին:

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

Գումարեք \frac{119}{2} -8-ին:

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

Հանեք \frac{103}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{39}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{103}{39}$$

Փոխարինեք \frac{103}{39}-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ \frac{103}{39}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

Գումարեք \frac{7}{2} -\frac{103}{78}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{85}{39}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

2x-ը և 17x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 17-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

Պարզեցնել:

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

Հանեք 34x-22y-16=0 34x+17y-119=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

Գումարեք 34x -34x-ին: 34x-ը և -34x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$17y+22y-119+16=0$$

Գումարեք 17y 22y-ին:

$$39y-119+16=0$$

Գումարեք -119 16-ին:

$$39y-103=0$$

Գումարեք 103 հավասարման երկու կողմին:

$$39y=103$$

Բաժանեք երկու կողմերը 39-ի:

$$y=\frac{103}{39}$$

Փոխարինեք \frac{103}{39}-ը y-ով 17x-11y-8=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

Բազմապատկեք -11 անգամ \frac{103}{39}:

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

Գումարեք -\frac{1133}{39} -8-ին:

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

Գումարեք \frac{1445}{39} հավասարման երկու կողմին:

$$17x=\frac{1445}{39}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 17-ի:

$$x=\frac{85}{39}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$