Լուծեք {l}{2x+y=11}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=11,3x-y=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=11$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+11:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+11}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-y=9:

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)-y=9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-y+11}{2}:

$$-\frac{3}{2}y+\frac{33}{2}-y=9$$

Գումարեք -\frac{3y}{2} -y-ին:

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}=9$$

Հանեք \frac{33}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{11}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 3:

$$x=\frac{-3+11}{2}$$

Գումարեք \frac{11}{2} -\frac{3}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=11,3x-y=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 11+\frac{1}{5}\times 9\\\frac{3}{5}\times 11-\frac{2}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=11,3x-y=9$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3y=3\times 11,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 9$$

Պարզեցնել:

$$6x+3y=33,6x-2y=18$$

Հանեք 6x-2y=18 6x+3y=33-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+3y+2y=33-18$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y+2y=33-18$$

Գումարեք 3y 2y-ին:

$$5y=33-18$$

Գումարեք 33 -18-ին:

$$5y=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 3x-y=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-3=9$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=3$$