Լուծեք {l}{2x+7y-18=4(x+y)}{5x-4y-13=2(x-y)}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y - 18 = 4 ( x + y ) } \\ { 5 x - 4 y - 13 = 2 ( x - y ) } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=15$$

$$y=16$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+7y-18=4x+4y$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$2x+7y-18-4x=4y$$

Համակցեք 2x և -4x և ստացեք -2x:

$$-2x+7y-18=4y$$

Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$-2x+7y-18-4y=0$$

Համակցեք 7y և -4y և ստացեք 3y:

$$-2x+3y-18=0$$

Հավելել 18-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$-2x+3y=18$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$5x-4y-13=2x-2y$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$5x-4y-13-2x=-2y$$

Համակցեք 5x և -2x և ստացեք 3x:

$$3x-4y-13=-2y$$

Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$3x-4y-13+2y=0$$

Համակցեք -4y և 2y և ստացեք -2y:

$$3x-2y-13=0$$

Հավելել 13-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$3x-2y=13$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-2x+3y=18,3x-2y=13$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-2x+3y=18$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=-3y+18$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+18\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -3y+18:

$$x=\frac{3}{2}y-9$$

Փոխարինեք -9+\frac{3y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-2y=13:

$$3\left(\frac{3}{2}y-9\right)-2y=13$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -9+\frac{3y}{2}:

$$\frac{9}{2}y-27-2y=13$$

Գումարեք \frac{9y}{2} -2y-ին:

$$\frac{5}{2}y-27=13$$

Գումարեք 27 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{5}{2}y=40$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=16$$

Փոխարինեք 16-ը y-ով x=\frac{3}{2}y-9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\times 16-9$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ 16:

$$x=24-9$$

Գումարեք -9 24-ին:

$$x=15$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=15,y=16$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+7y-18=4x+4y$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$2x+7y-18-4x=4y$$

Համակցեք 2x և -4x և ստացեք -2x:

$$-2x+7y-18=4y$$

Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$-2x+7y-18-4y=0$$

Համակցեք 7y և -4y և ստացեք 3y:

$$-2x+3y-18=0$$

Հավելել 18-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$-2x+3y=18$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$5x-4y-13=2x-2y$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$5x-4y-13-2x=-2y$$

Համակցեք 5x և -2x և ստացեք 3x:

$$3x-4y-13=-2y$$

Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$3x-4y-13+2y=0$$

Համակցեք -4y և 2y և ստացեք -2y:

$$3x-2y-13=0$$

Հավելել 13-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$3x-2y=13$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-2x+3y=18,3x-2y=13$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{-2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 18+\frac{3}{5}\times 13\\\frac{3}{5}\times 18+\frac{2}{5}\times 13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\16\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=15,y=16$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+7y-18=4x+4y$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$2x+7y-18-4x=4y$$

Համակցեք 2x և -4x և ստացեք -2x:

$$-2x+7y-18=4y$$

Հանեք 4y երկու կողմերից:

$$-2x+7y-18-4y=0$$

Համակցեք 7y և -4y և ստացեք 3y:

$$-2x+3y-18=0$$

Հավելել 18-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$-2x+3y=18$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$5x-4y-13=2x-2y$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$5x-4y-13-2x=-2y$$

Համակցեք 5x և -2x և ստացեք 3x:

$$3x-4y-13=-2y$$

Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$3x-4y-13+2y=0$$

Համակցեք -4y և 2y և ստացեք -2y:

$$3x-2y-13=0$$

Հավելել 13-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$3x-2y=13$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-2x+3y=18,3x-2y=13$$

-2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -2-ով:

$$3\left(-2\right)x+3\times 3y=3\times 18,-2\times 3x-2\left(-2\right)y=-2\times 13$$

Պարզեցնել:

$$-6x+9y=54,-6x+4y=-26$$

Հանեք -6x+4y=-26 -6x+9y=54-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-6x+6x+9y-4y=54+26$$

Գումարեք -6x 6x-ին: -6x-ը և 6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-4y=54+26$$

Գումարեք 9y -4y-ին:

$$5y=54+26$$

Գումարեք 54 26-ին:

$$5y=80$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=16$$

Փոխարինեք 16-ը y-ով 3x-2y=13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-2\times 16=13$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 16:

$$3x-32=13$$

Գումարեք 32 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=45$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=15$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=15,y=16$$