Լուծեք {l}{2x+7y=22}{2x-3y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 22 } \\ { 2 x - 3 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+7y=22$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-7y+22$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+22\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -7y+22:

$$x=-\frac{7}{2}y+11$$

Փոխարինեք -\frac{7y}{2}+11-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-3y=-14:

$$2\left(-\frac{7}{2}y+11\right)-3y=-14$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{7y}{2}+11:

$$-7y+22-3y=-14$$

Գումարեք -7y -3y-ին:

$$-10y+22=-14$$

Հանեք 22 հավասարման երկու կողմից:

$$-10y=-36$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$y=\frac{18}{5}$$

Փոխարինեք \frac{18}{5}-ը y-ով x=-\frac{7}{2}y+11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{18}{5}+11$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{2} անգամ \frac{18}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{63}{5}+11$$

Գումարեք 11 -\frac{63}{5}-ին:

$$x=-\frac{8}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{7}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 22+\frac{7}{20}\left(-14\right)\\\frac{1}{10}\times 22-\frac{1}{10}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Հանեք 2x-3y=-14 2x+7y=22-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+7y+3y=22+14$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7y+3y=22+14$$

Գումարեք 7y 3y-ին:

$$10y=22+14$$

Գումարեք 22 14-ին:

$$10y=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=\frac{18}{5}$$

Փոխարինեք \frac{18}{5}-ը y-ով 2x-3y=-14-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-3\times \frac{18}{5}=-14$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{18}{5}:

$$2x-\frac{54}{5}=-14$$

Գումարեք \frac{54}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$2x=-\frac{16}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-\frac{8}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$