Լուծեք {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$18x-14y=-5$$

Գումարեք 14y հավասարման երկու կողմին:

$$18x=14y-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{18} անգամ 14y-5:

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

Փոխարինեք \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 18x+2y=-20:

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

Բազմապատկեք 18 անգամ \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}:

$$14y-5+2y=-20$$

Գումարեք 14y 2y-ին:

$$16y-5=-20$$

Գումարեք 5 հավասարման երկու կողմին:

$$16y=-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$y=-\frac{15}{16}$$

Փոխարինեք -\frac{15}{16}-ը y-ով x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

Բազմապատկեք \frac{7}{9} անգամ -\frac{15}{16}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

Գումարեք -\frac{5}{18} -\frac{35}{48}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{145}{144}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Հանեք 18x+2y=-20 18x-14y=-5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

Գումարեք 18x -18x-ին: 18x-ը և -18x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-14y-2y=-5+20$$

Գումարեք -14y -2y-ին:

$$-16y=-5+20$$

Գումարեք -5 20-ին:

$$-16y=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -16-ի:

$$y=-\frac{15}{16}$$

Փոխարինեք -\frac{15}{16}-ը y-ով 18x+2y=-20-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{15}{16}:

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

Գումարեք \frac{15}{8} հավասարման երկու կողմին:

$$18x=-\frac{145}{8}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$x=-\frac{145}{144}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$