Լուծեք {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-28$$

$$y=63$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$11x+5y=7$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$11x=-5y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{11} անգամ -5y+7:

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

Փոխարինեք \frac{-5y+7}{11}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x+3y=21:

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{-5y+7}{11}:

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

Գումարեք -\frac{30y}{11} 3y-ին:

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

Հանեք \frac{42}{11} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{11}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=63$$

Փոխարինեք 63-ը y-ով x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{11} անգամ 63:

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

Գումարեք \frac{7}{11} -\frac{315}{11}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-28$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-28,y=63$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-28,y=63$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

11x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 11-ով:

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

Պարզեցնել:

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

Հանեք 66x+33y=231 66x+30y=42-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

Գումարեք 66x -66x-ին: 66x-ը և -66x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$30y-33y=42-231$$

Գումարեք 30y -33y-ին:

$$-3y=42-231$$

Գումարեք 42 -231-ին:

$$-3y=-189$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=63$$

Փոխարինեք 63-ը y-ով 6x+3y=21-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x+3\times 63=21$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 63:

$$6x+189=21$$

Հանեք 189 հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-168$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=-28$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-28,y=63$$