Լուծեք {l}{-x-3y=12}{-5x-9y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 12 } \\ { - 5 x - 9 y = 18 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=9$$

$$y=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x-3y=12$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$-x=3y+12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(3y+12\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ 12+3y:

$$x=-3y-12$$

Փոխարինեք -3y-12-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5x-9y=18:

$$-5\left(-3y-12\right)-9y=18$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -3y-12:

$$15y+60-9y=18$$

Գումարեք 15y -9y-ին:

$$6y+60=18$$

Հանեք 60 հավասարման երկու կողմից:

$$6y=-42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=-7$$

Փոխարինեք -7-ը y-ով x=-3y-12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\left(-7\right)-12$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -7:

$$x=21-12$$

Գումարեք -12 21-ին:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=9,y=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

-x-ը և -5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 12,-\left(-5\right)x-\left(-9y\right)=-18$$

Պարզեցնել:

$$5x+15y=-60,5x+9y=-18$$

Հանեք 5x+9y=-18 5x+15y=-60-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x+15y-9y=-60+18$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-9y=-60+18$$

Գումարեք 15y -9y-ին:

$$6y=-60+18$$

Գումարեք -60 18-ին:

$$6y=-42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=-7$$

Փոխարինեք -7-ը y-ով -5x-9y=18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-5x-9\left(-7\right)=18$$

Բազմապատկեք -9 անգամ -7:

$$-5x+63=18$$

Հանեք 63 հավասարման երկու կողմից:

$$-5x=-45$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=-7$$