Լուծեք {l}{-8x-9y=-10}{-4x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 9 y = - 10 } \\ { - 4 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-10$$

$$y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-8x-9y=-10$$

Գումարեք 9y հավասարման երկու կողմին:

$$-8x=9y-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$x=-\frac{1}{8}\left(9y-10\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{8} անգամ 9y-10:

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4x-3y=10:

$$-4\left(-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=10$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4}:

$$\frac{9}{2}y-5-3y=10$$

Գումարեք \frac{9y}{2} -3y-ին:

$$\frac{3}{2}y-5=10$$

Գումարեք 5 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{3}{2}y=15$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=10$$

Փոխարինեք 10-ը y-ով x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{9}{8}\times 10+\frac{5}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{9}{8} անգամ 10:

$$x=\frac{-45+5}{4}$$

Գումարեք \frac{5}{4} -\frac{45}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-10,y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{-9}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 10\\-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-10,y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

-8x-ը և -4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -8-ով:

$$-4\left(-8\right)x-4\left(-9\right)y=-4\left(-10\right),-8\left(-4\right)x-8\left(-3\right)y=-8\times 10$$

Պարզեցնել:

$$32x+36y=40,32x+24y=-80$$

Հանեք 32x+24y=-80 32x+36y=40-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$32x-32x+36y-24y=40+80$$

Գումարեք 32x -32x-ին: 32x-ը և -32x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$36y-24y=40+80$$

Գումարեք 36y -24y-ին:

$$12y=40+80$$

Գումարեք 40 80-ին:

$$12y=120$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$y=10$$

Փոխարինեք 10-ը y-ով -4x-3y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-4x-3\times 10=10$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 10:

$$-4x-30=10$$

Գումարեք 30 հավասարման երկու կողմին:

$$-4x=40$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=-10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-10,y=10$$