Լուծեք {l}{-8x+4y=12}{8x-3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 12 } \\ { 8 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-8x+4y=12$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$-8x=-4y+12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+12\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{8} անգամ -4y+12:

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3+y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 8x-3y=-3:

$$8\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=-3$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{-3+y}{2}:

$$4y-12-3y=-3$$

Գումարեք 4y -3y-ին:

$$y-12=-3$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\times 9-\frac{3}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 9:

$$x=\frac{9-3}{2}$$

Գումարեք -\frac{3}{2} \frac{9}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 12+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\12-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

-8x-ը և 8x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 8-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -8-ով:

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 12,-8\times 8x-8\left(-3\right)y=-8\left(-3\right)$$

Պարզեցնել:

$$-64x+32y=96,-64x+24y=24$$

Հանեք -64x+24y=24 -64x+32y=96-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-64x+64x+32y-24y=96-24$$

Գումարեք -64x 64x-ին: -64x-ը և 64x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$32y-24y=96-24$$

Գումարեք 32y -24y-ին:

$$8y=96-24$$

Գումարեք 96 -24-ին:

$$8y=72$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով 8x-3y=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$8x-3\times 9=-3$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 9:

$$8x-27=-3$$

Գումարեք 27 հավասարման երկու կողմին:

$$8x=24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=9$$