Լուծեք {l}{-6x+2y=6}{4x-4y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 2 y = 6 } \\ { 4 x - 4 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-6x+2y=6$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$-6x=-2y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$x=-\frac{1}{6}\left(-2y+6\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{6} անգամ -2y+6:

$$x=\frac{1}{3}y-1$$

Փոխարինեք \frac{y}{3}-1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-4y=-20:

$$4\left(\frac{1}{3}y-1\right)-4y=-20$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{y}{3}-1:

$$\frac{4}{3}y-4-4y=-20$$

Գումարեք \frac{4y}{3} -4y-ին:

$$-\frac{8}{3}y-4=-20$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{8}{3}y=-16$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{8}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով x=\frac{1}{3}y-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{3}\times 6-1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 6:

$$x=2-1$$

Գումարեք -1 2-ին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-2\times 4}&-\frac{2}{-6\left(-4\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{-6\left(-4\right)-2\times 4}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{8}\left(-20\right)\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{3}{8}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

-6x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -6-ով:

$$4\left(-6\right)x+4\times 2y=4\times 6,-6\times 4x-6\left(-4\right)y=-6\left(-20\right)$$

Պարզեցնել:

$$-24x+8y=24,-24x+24y=120$$

Հանեք -24x+24y=120 -24x+8y=24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-24x+24x+8y-24y=24-120$$

Գումարեք -24x 24x-ին: -24x-ը և 24x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y-24y=24-120$$

Գումարեք 8y -24y-ին:

$$-16y=24-120$$

Գումարեք 24 -120-ին:

$$-16y=-96$$

Բաժանեք երկու կողմերը -16-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով 4x-4y=-20-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-4\times 6=-20$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 6:

$$4x-24=-20$$

Գումարեք 24 հավասարման երկու կողմին:

$$4x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=6$$