Լուծեք {l}{-5x+3y=3}{4x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 3 y = 3 } \\ { 4 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-5x+3y=3$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$-5x=-3y+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+3\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ -3y+3:

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-3+3y}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+3y=30:

$$4\left(\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=30$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-3+3y}{5}:

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+3y=30$$

Գումարեք \frac{12y}{5} 3y-ին:

$$\frac{27}{5}y-\frac{12}{5}=30$$

Գումարեք \frac{12}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{27}{5}y=\frac{162}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{27}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{5}\times 6-\frac{3}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{5} անգամ 6:

$$x=\frac{18-3}{5}$$

Գումարեք -\frac{3}{5} \frac{18}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{5}{-5\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{4}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 30\\\frac{4}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Հանեք 4x+3y=30 -5x+3y=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-5x-4x+3y-3y=3-30$$

Գումարեք 3y -3y-ին: 3y-ը և -3y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-5x-4x=3-30$$

Գումարեք -5x -4x-ին:

$$-9x=3-30$$

Գումարեք 3 -30-ին:

$$-9x=-27$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$x=3$$

Փոխարինեք 3-ը x-ով 4x+3y=30-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$4\times 3+3y=30$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 3:

$$12+3y=30$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$3y=18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=6$$