Լուծեք {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=7$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-3y+4x=13$$

Հանեք 4x հավասարման երկու կողմից:

$$-3y=-4x+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ -4x+13:

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

Փոխարինեք \frac{4x-13}{3}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5y-6x=-67:

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{4x-13}{3}:

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

Գումարեք -\frac{20x}{3} -6x-ին:

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

Հանեք \frac{65}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{38}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=7$$

Փոխարինեք 7-ը x-ով y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{3} անգամ 7:

$$y=\frac{28-13}{3}$$

Գումարեք -\frac{13}{3} \frac{28}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=5,x=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=5,x=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

-3y-ը և -5y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -3-ով:

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

Պարզեցնել:

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

Հանեք 15y+18x=201 15y-20x=-65-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

Գումարեք 15y -15y-ին: 15y-ը և -15y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-20x-18x=-65-201$$

Գումարեք -20x -18x-ին:

$$-38x=-65-201$$

Գումարեք -65 -201-ին:

$$-38x=-266$$

Բաժանեք երկու կողմերը -38-ի:

$$x=7$$

Փոխարինեք 7-ը x-ով -5y-6x=-67-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-5y-6\times 7=-67$$

Բազմապատկեք -6 անգամ 7:

$$-5y-42=-67$$

Գումարեք 42 հավասարման երկու կողմին:

$$-5y=-25$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=5,x=7$$