Լուծեք {l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{1} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Հանեք m_{1}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{2} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Հանեք m_{2}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

Գումարեք m_{1}x հավասարման երկու կողմին:

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

Փոխարինեք m_{1}x+am_{1}-b-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b:

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Գումարեք m_{1}x -m_{2}x-ին:

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

Հանեք am_{1}-b հավասարման երկու կողմից:

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը m_{1}-m_{2}-ի:

$$x=-a$$

Փոխարինեք -a-ը x-ով y=m_{1}x+am_{1}-b-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

Բազմապատկեք m_{1} անգամ -a:

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

Գումարեք am_{1}-b -m_{1}a-ին:

$$y=-b$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-b,x=-a$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{1} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Հանեք m_{1}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{2} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Հանեք m_{2}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-b,x=-a$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{1} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Հանեք m_{1}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{2} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Հանեք m_{2}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Հանեք y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Գումարեք -m_{1}x m_{2}x-ին:

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Գումարեք am_{1}-b -m_{2}a+b-ին:

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը -m_{1}+m_{2}-ի:

$$x=-a$$

Փոխարինեք -a-ը x-ով y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

Բազմապատկեք -m_{2} անգամ -a:

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

Հանեք m_{2}a հավասարման երկու կողմից:

$$y=-b$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-b,x=-a$$

Լուծել x, y-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{1} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Հանեք m_{1}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{2} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Հանեք m_{2}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

Գումարեք m_{1}x հավասարման երկու կողմին:

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

Փոխարինեք m_{1}x+am_{1}-b-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b:

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Գումարեք m_{1}x -m_{2}x-ին:

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

Հանեք am_{1}-b հավասարման երկու կողմից:

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը m_{1}-m_{2}-ի:

$$x=-a$$

Փոխարինեք -a-ը x-ով y=m_{1}x+am_{1}-b-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

Բազմապատկեք m_{1} անգամ -a:

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

Գումարեք am_{1}-b -m_{1}a-ին:

$$y=-b$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-b,x=-a$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{1} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Հանեք m_{1}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{2} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Հանեք m_{2}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-b,x=-a$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{1} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Հանեք m_{1}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ m_{2} x+a-ով բազմապատկելու համար:

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Հանեք m_{2}x երկու կողմերից:

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Հանեք b երկու կողմերից:

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Հանեք y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Գումարեք -m_{1}x m_{2}x-ին:

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Գումարեք am_{1}-b -m_{2}a+b-ին:

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը -m_{1}+m_{2}-ի:

$$x=-a$$

Փոխարինեք -a-ը x-ով y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

Բազմապատկեք -m_{2} անգամ -a:

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

Հանեք m_{2}a հավասարման երկու կողմից:

$$y=-b$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-b,x=-a$$