Լուծեք {l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=13$$

$$y=11$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 5,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 y-7-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-6=5y-35$$

Հանեք 5y երկու կողմերից:

$$2x-6-5y=-35$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում:

$$2x-5y=-35+6$$

Գումարեք -35 և 6 և ստացեք -29:

$$2x-5y=-29$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 13y երկու կողմերից:

$$11x-13y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-5y=-29$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=5y-29$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 5y-29:

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5y-29}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 11x-13y=0:

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

Բազմապատկեք 11 անգամ \frac{5y-29}{2}:

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

Գումարեք \frac{55y}{2} -13y-ին:

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

Գումարեք \frac{319}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{29}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=11$$

Փոխարինեք 11-ը y-ով x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{2} անգամ 11:

$$x=\frac{55-29}{2}$$

Գումարեք -\frac{29}{2} \frac{55}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=13$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=13,y=11$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 5,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 y-7-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-6=5y-35$$

Հանեք 5y երկու կողմերից:

$$2x-6-5y=-35$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում:

$$2x-5y=-35+6$$

Գումարեք -35 և 6 և ստացեք -29:

$$2x-5y=-29$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 13y երկու կողմերից:

$$11x-13y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=13,y=11$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 5,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 y-7-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-6=5y-35$$

Հանեք 5y երկու կողմերից:

$$2x-6-5y=-35$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում:

$$2x-5y=-35+6$$

Գումարեք -35 և 6 և ստացեք -29:

$$2x-5y=-29$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 13y երկու կողմերից:

$$11x-13y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

2x-ը և 11x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 11-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

Պարզեցնել:

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

Հանեք 22x-26y=0 22x-55y=-319-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

Գումարեք 22x -22x-ին: 22x-ը և -22x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-55y+26y=-319$$

Գումարեք -55y 26y-ին:

$$-29y=-319$$

Բաժանեք երկու կողմերը -29-ի:

$$y=11$$

Փոխարինեք 11-ը y-ով 11x-13y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$11x-13\times 11=0$$

Բազմապատկեք -13 անգամ 11:

$$11x-143=0$$

Գումարեք 143 հավասարման երկու կողմին:

$$11x=143$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$x=13$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=13,y=11$$