Լուծեք {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=-10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 5,10-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x-20=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x-20-y=0$$

Հավելել 20-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$2x-y=20$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 7y-ը երկու կողմերում:

$$5x+45+7y=0$$

Հանեք 45 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$5x+7y=-45$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-y=20$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=y+20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ y+20:

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

Փոխարինեք \frac{y}{2}+10-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+7y=-45:

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{y}{2}+10:

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

Գումարեք \frac{5y}{2} 7y-ին:

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

Հանեք 50 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{19}{2}y=-95$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{19}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-10$$

Փոխարինեք -10-ը y-ով x=\frac{1}{2}y+10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -10:

$$x=-5+10$$

Գումարեք 10 -5-ին:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 5,10-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x-20=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x-20-y=0$$

Հավելել 20-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$2x-y=20$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 7y-ը երկու կողմերում:

$$5x+45+7y=0$$

Հանեք 45 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$5x+7y=-45$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=-10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 5,10-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x-20=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x-20-y=0$$

Հավելել 20-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$2x-y=20$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 7y-ը երկու կողմերում:

$$5x+45+7y=0$$

Հանեք 45 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$5x+7y=-45$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

Պարզեցնել:

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

Հանեք 10x+14y=-90 10x-5y=100-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-5y-14y=100+90$$

Գումարեք -5y -14y-ին:

$$-19y=100+90$$

Գումարեք 100 90-ին:

$$-19y=190$$

Բաժանեք երկու կողմերը -19-ի:

$$y=-10$$

Փոխարինեք -10-ը y-ով 5x+7y=-45-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -10:

$$5x-70=-45$$

Գումարեք 70 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=25$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-10$$