Լուծեք {l}{x/4-3/8y=3}{5/3x-y/2=12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { 3 } { 8 } y = 3 } \\ { \frac { 5 } { 3 } x - \frac { y } { 2 } = 12 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 8-ով՝ 4,8-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x-3y=24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$10x-3y=72$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=24$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y+24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 24+3y:

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Փոխարինեք \frac{3y}{2}+12-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 10x-3y=72:

$$10\left(\frac{3}{2}y+12\right)-3y=72$$

Բազմապատկեք 10 անգամ \frac{3y}{2}+12:

$$15y+120-3y=72$$

Գումարեք 15y -3y-ին:

$$12y+120=72$$

Հանեք 120 հավասարման երկու կողմից:

$$12y=-48$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=\frac{3}{2}y+12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+12$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ -4:

$$x=-6+12$$

Գումարեք 12 -6-ին:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 8-ով՝ 4,8-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x-3y=24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$10x-3y=72$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\\-\frac{10}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\times 72\\-\frac{5}{12}\times 24+\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=6,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 8-ով՝ 4,8-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x-3y=24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$10x-3y=72$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Հանեք 10x-3y=72 2x-3y=24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-10x-3y+3y=24-72$$

Գումարեք -3y 3y-ին: -3y-ը և 3y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2x-10x=24-72$$

Գումարեք 2x -10x-ին:

$$-8x=24-72$$

Գումարեք 24 -72-ին:

$$-8x=-48$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$x=6$$

Փոխարինեք 6-ը x-ով 10x-3y=72-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$10\times 6-3y=72$$

Բազմապատկեք 10 անգամ 6:

$$60-3y=72$$

Հանեք 60 հավասարման երկու կողմից:

$$-3y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-4$$