Լուծեք {l}{3x+y/2=2}{y+1/x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 x + y } { 2 } = 2 } \\ { \frac { y + 1 } { x } = - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=-11$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$3x+y=2\times 2$$

Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$3x+y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 0-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը x-ով:

$$y+1=-2x$$

Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+1+2x=0$$

Հանեք 1 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$y+2x=-1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+y=4$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -y+4:

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք \frac{4-y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+y=-1:

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=-1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{4-y}{3}:

$$-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}+y=-1$$

Գումարեք -\frac{2y}{3} y-ին:

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Հանեք \frac{8}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 3-ով:

$$y=-11$$

Փոխարինեք -11-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\left(-11\right)+\frac{4}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ -11:

$$x=\frac{11+4}{3}$$

Գումարեք \frac{4}{3} \frac{11}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-11$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$3x+y=2\times 2$$

Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$3x+y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 0-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը x-ով:

$$y+1=-2x$$

Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+1+2x=0$$

Հանեք 1 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$y+2x=-1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-\left(-1\right)\\-2\times 4+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-11\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=-11$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$3x+y=2\times 2$$

Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$3x+y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 0-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը x-ով:

$$y+1=-2x$$

Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+1+2x=0$$

Հանեք 1 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$y+2x=-1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

Հանեք 2x+y=-1 3x+y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-2x+y-y=4+1$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3x-2x=4+1$$

Գումարեք 3x -2x-ին:

$$x=4+1$$

Գումարեք 4 1-ին:

$$x=5$$

Փոխարինեք 5-ը x-ով 2x+y=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$2\times 5+y=-1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 5:

$$10+y=-1$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$y=-11$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-11$$