Լուծեք {l}{3/4x+1/4y=13/2}{x-3/4y=frac{13}{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 13 } { 2 } } \\ { x - \frac { 3 } { 4 } y = \frac { 13 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=8$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2}$$

Հանեք \frac{y}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{3}{4}x=-\frac{1}{4}y+\frac{13}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{4}y+\frac{13}{2}\right)$$

Բազմապատկեք \frac{4}{3} անգամ -\frac{y}{4}+\frac{13}{2}:

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-y+26}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}:

$$-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

Գումարեք -\frac{y}{3} -\frac{3y}{4}-ին:

$$-\frac{13}{12}y+\frac{26}{3}=\frac{13}{2}$$

Հանեք \frac{26}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{13}{12}y=-\frac{13}{6}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{13}{12}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times 2+\frac{26}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ 2:

$$x=\frac{-2+26}{3}$$

Գումարեք \frac{26}{3} -\frac{2}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=8,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}\\-\frac{1}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{16}{13}&-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{13}\times \frac{13}{2}+\frac{4}{13}\times \frac{13}{2}\\\frac{16}{13}\times \frac{13}{2}-\frac{12}{13}\times \frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=8,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

\frac{3x}{4}-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ \frac{3}{4}-ով:

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)y=\frac{3}{4}\times \frac{13}{2}$$

Պարզեցնել:

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},\frac{3}{4}x-\frac{9}{16}y=\frac{39}{8}$$

Հանեք \frac{3}{4}x-\frac{9}{16}y=\frac{39}{8} \frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y+\frac{9}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

Գումարեք \frac{3x}{4} -\frac{3x}{4}-ին: \frac{3x}{4}-ը և -\frac{3x}{4}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{1}{4}y+\frac{9}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

Գումարեք \frac{y}{4} \frac{9y}{16}-ին:

$$\frac{13}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

Գումարեք \frac{13}{2} -\frac{39}{8}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$\frac{13}{16}y=\frac{13}{8}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{13}{16}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\frac{3}{4}\times 2=\frac{13}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ 2:

$$x-\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$$

Գումարեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=8,y=2$$