Լուծեք {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=7$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x-y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-2y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Համակցեք 8x և -3x և ստացեք 5x:

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Համակցեք -4y և 6y և ստացեք 2y:

$$5x+2y+12-9=48$$

Հանեք 9 12-ից և ստացեք 3:

$$5x+2y+3=48$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$5x+2y=48-3$$

Հանեք 3 48-ից և ստացեք 45:

$$5x+2y=45$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x-4y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 4x-2y-9-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Համակցեք 9x և 16x և ստացեք 25x:

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Համակցեք -12y և -8y և ստացեք -20y:

$$25x-20y+9-36=48$$

Հանեք 36 9-ից և ստացեք -27:

$$25x-20y-27=48$$

Հավելել 27-ը երկու կողմերում:

$$25x-20y=48+27$$

Գումարեք 48 և 27 և ստացեք 75:

$$25x-20y=75$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+2y=45$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-2y+45$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -2y+45:

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

Փոխարինեք -\frac{2y}{5}+9-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 25x-20y=75:

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

Բազմապատկեք 25 անգամ -\frac{2y}{5}+9:

$$-10y+225-20y=75$$

Գումարեք -10y -20y-ին:

$$-30y+225=75$$

Հանեք 225 հավասարման երկու կողմից:

$$-30y=-150$$

Բաժանեք երկու կողմերը -30-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=-\frac{2}{5}y+9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{5} անգամ 5:

$$x=-2+9$$

Գումարեք 9 -2-ին:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x-y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-2y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Համակցեք 8x և -3x և ստացեք 5x:

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Համակցեք -4y և 6y և ստացեք 2y:

$$5x+2y+12-9=48$$

Հանեք 9 12-ից և ստացեք 3:

$$5x+2y+3=48$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$5x+2y=48-3$$

Հանեք 3 48-ից և ստացեք 45:

$$5x+2y=45$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x-4y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 4x-2y-9-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Համակցեք 9x և 16x և ստացեք 25x:

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Համակցեք -12y և -8y և ստացեք -20y:

$$25x-20y+9-36=48$$

Հանեք 36 9-ից և ստացեք -27:

$$25x-20y-27=48$$

Հավելել 27-ը երկու կողմերում:

$$25x-20y=48+27$$

Գումարեք 48 և 27 և ստացեք 75:

$$25x-20y=75$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=7,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x-y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-2y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Համակցեք 8x և -3x և ստացեք 5x:

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Համակցեք -4y և 6y և ստացեք 2y:

$$5x+2y+12-9=48$$

Հանեք 9 12-ից և ստացեք 3:

$$5x+2y+3=48$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$5x+2y=48-3$$

Հանեք 3 48-ից և ստացեք 45:

$$5x+2y=45$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x-4y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 4x-2y-9-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Համակցեք 9x և 16x և ստացեք 25x:

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Համակցեք -12y և -8y և ստացեք -20y:

$$25x-20y+9-36=48$$

Հանեք 36 9-ից և ստացեք -27:

$$25x-20y-27=48$$

Հավելել 27-ը երկու կողմերում:

$$25x-20y=48+27$$

Գումարեք 48 և 27 և ստացեք 75:

$$25x-20y=75$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

5x-ը և 25x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 25-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

Պարզեցնել:

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

Հանեք 125x-100y=375 125x+50y=1125-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

Գումարեք 125x -125x-ին: 125x-ը և -125x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$50y+100y=1125-375$$

Գումարեք 50y 100y-ին:

$$150y=1125-375$$

Գումարեք 1125 -375-ին:

$$150y=750$$

Բաժանեք երկու կողմերը 150-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով 25x-20y=75-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$25x-20\times 5=75$$

Բազմապատկեք -20 անգամ 5:

$$25x-100=75$$

Գումարեք 100 հավասարման երկու կողմին:

$$25x=175$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=5$$