Լուծեք {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել \frac{2}{3}-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3y-2-ով:

$$2x+3=3y-2$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$2x+3-3y=-2$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$2x-3y=-2-3$$

Հանեք 3 -2-ից և ստացեք -5:

$$2x-3y=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 2y-5-ով բազմապատկելու համար:

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2y x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Համակցեք 2xy և -2yx և ստացեք 0:

$$-5x-6y-2x=1$$

Համակցեք -5x և -2x և ստացեք -7x:

$$-7x-6y=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=-5$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3y-5:

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3y-5}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -7x-6y=1:

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

Բազմապատկեք -7 անգամ \frac{3y-5}{2}:

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

Գումարեք -\frac{21y}{2} -6y-ին:

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Հանեք \frac{35}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{33}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3-5}{2}$$

Գումարեք -\frac{5}{2} \frac{3}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել \frac{2}{3}-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3y-2-ով:

$$2x+3=3y-2$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$2x+3-3y=-2$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$2x-3y=-2-3$$

Հանեք 3 -2-ից և ստացեք -5:

$$2x-3y=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 2y-5-ով բազմապատկելու համար:

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2y x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Համակցեք 2xy և -2yx և ստացեք 0:

$$-5x-6y-2x=1$$

Համակցեք -5x և -2x և ստացեք -7x:

$$-7x-6y=1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել \frac{2}{3}-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3y-2-ով:

$$2x+3=3y-2$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$2x+3-3y=-2$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$2x-3y=-2-3$$

Հանեք 3 -2-ից և ստացեք -5:

$$2x-3y=-5$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 2y-5-ով բազմապատկելու համար:

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2y x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Համակցեք 2xy և -2yx և ստացեք 0:

$$-5x-6y-2x=1$$

Համակցեք -5x և -2x և ստացեք -7x:

$$-7x-6y=1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

2x-ը և -7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

Պարզեցնել:

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

Հանեք -14x-12y=2 -14x+21y=35-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

Գումարեք -14x 14x-ին: -14x-ը և 14x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$21y+12y=35-2$$

Գումարեք 21y 12y-ին:

$$33y=35-2$$

Գումարեք 35 -2-ին:

$$33y=33$$

Բաժանեք երկու կողմերը 33-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով -7x-6y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-7x-6=1$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$-7x=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=1$$