Լուծեք {c}{x+6y=90}{3x+3y=-30}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 6 y = 90 } \\ { 3 x + 3 y = - 30 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-30$$

$$y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+6y=90$$

Հանեք 6y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-6y+90$$

Փոխարինեք -6y+90-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+3y=-30:

$$3\left(-6y+90\right)+3y=-30$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -6y+90:

$$-18y+270+3y=-30$$

Գումարեք -18y 3y-ին:

$$-15y+270=-30$$

Հանեք 270 հավասարման երկու կողմից:

$$-15y=-300$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=20$$

Փոխարինեք 20-ը y-ով x=-6y+90-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-6\times 20+90$$

Բազմապատկեք -6 անգամ 20:

$$x=-120+90$$

Գումարեք 90 -120-ին:

$$x=-30$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-30,y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-6\times 3}&-\frac{6}{3-6\times 3}\\-\frac{3}{3-6\times 3}&\frac{1}{3-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 90+\frac{2}{5}\left(-30\right)\\\frac{1}{5}\times 90-\frac{1}{15}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-30,y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$3x+3\times 6y=3\times 90,3x+3y=-30$$

Պարզեցնել:

$$3x+18y=270,3x+3y=-30$$

Հանեք 3x+3y=-30 3x+18y=270-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x+18y-3y=270+30$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$18y-3y=270+30$$

Գումարեք 18y -3y-ին:

$$15y=270+30$$

Գումարեք 270 30-ին:

$$15y=300$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$y=20$$

Փոխարինեք 20-ը y-ով 3x+3y=-30-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+3\times 20=-30$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 20:

$$3x+60=-30$$

Հանեք 60 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-90$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-30$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-30,y=20$$